О разделе

Что здесь собрано

Полный курс электродинамики для ЕГЭ по физике: электростатика (закон Кулона, поля, потенциал, конденсаторы), постоянный ток (закон Ома, цепи, мощность), магнитное поле (сила Ампера, Лоренца), электромагнитная индукция (Фарадей, Ленц, самоиндукция).

Темы проверяются в заданиях 14--18, 21, 24, 25, 26 ЕГЭ. Это самый объёмный и самый сложный раздел: здесь больше всего формул, два типа соединений, два режима конденсатора, векторные и скалярные величины вперемешку.

Проверяемые темы (кодификатор 3.1--3.4)

3.1 Электростатика: закон Кулона, напряжённость, суперпозиция, потенциал, конденсаторы
3.2 Постоянный ток: закон Ома, соединения резисторов, мощность, закон Джоуля-Ленца
3.3 Магнитное поле: сила Ампера, сила Лоренца, движение заряда в магнитном поле
3.4 Электромагнитная индукция: ЭДС индукции, правило Ленца, самоиндукция

Ключевые формулы раздела

Главное, что нужно знать для ЕГЭ

1

Электростатика

\(F = k\dfrac{q_1 q_2}{\varepsilon r^2}, \quad E = k\dfrac{Q}{r^2}, \quad \varphi = k\dfrac{Q}{r}\)

↓

2

Конденсатор

\(C = \dfrac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}, \quad q = CU, \quad W = \dfrac{CU^2}{2}\)

↓

3

Постоянный ток

\(I = \dfrac{U}{R}, \quad I = \dfrac{\mathscr{E}}{R+r}, \quad P = I^2 R\)

↓

4

Магнитное поле

\(F_A = BIl\sin\alpha, \quad F_L = qvB\sin\alpha, \quad R = \dfrac{mv}{qB}\)

↓

5

Индукция

\(\mathscr{E} = -\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}, \quad \mathscr{E} = Blv, \quad \mathscr{E}_L = -L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\)

Закон Кулона

Формула и смысл

\[F = k\frac{|q_1|\,|q_2|}{\varepsilon\, r^2}, \qquad k = 9 \cdot 10^{9} \;\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2\]

Где \(q_1, q_2\) -- заряды (Кл), \(r\) -- расстояние между ними (м), \(\varepsilon\) -- диэлектрическая проницаемость среды (в вакууме/воздухе \(\varepsilon = 1\)).

Проще: два заряда притягиваются (разные знаки) или отталкиваются (одинаковые знаки). Сила убывает с расстоянием ОЧЕНЬ быстро (квадрат!). Удвоил расстояние -- сила упала в 4 раза. Утроил -- в 9 раз.

Одноимённые заряды -- отталкиваются (\(F > 0\))
Разноимённые заряды -- притягиваются (\(F < 0\))
Формула работает для точечных зарядов (или сфер, если \(r\) -- расстояние между центрами)

Частые приёмы

Если заряды в среде (вода, масло): делим силу на \(\varepsilon\). Для воды \(\varepsilon = 81\), сила в 81 раз меньше!
Три заряда на одной прямой: суммируем силы ВЕКТОРНО. Рисуем стрелки, учитываем знаки.
Шарики касаются: заряды перераспределяются поровну (для одинаковых шаров): \(q' = \dfrac{q_1 + q_2}{2}\)

Мини-задача

\(q_1 = 3\) мкКл, \(q_2 = 4\) мкКл, \(r = 0{,}3\) м. Найти силу взаимодействия \(F\) (в Н).

\[F = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{0{,}09} = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{12 \cdot 10^{-12}}{0{,}09} = \frac{0{,}108}{0{,}09} = 1{,}2 \;\text{Н}\]

Напряжённость поля

Три формулы напряжённости

Проще: напряжённость -- это «сила на единичный заряд». Показывает, как сильно поле действует в данной точке. Единица: В/м = Н/Кл.

\[E = \frac{F}{q} \quad \text{(определение)}\]

\[E = k\frac{Q}{r^2} \quad \text{(поле точечного заряда)}\]

\[E = \frac{U}{d} \quad \text{(однородное поле конденсатора)}\]

Точечный заряд: \(E\) убывает как \(1/r^2\). Удвоил расстояние -- \(E\) упало в 4 раза.
Однородное поле (конденсатор): \(E\) одинаково в каждой точке.
Направление: от «+» к «--». Т.е. если заряд положительный -- \(\vec{E}\) направлено ОТ него.

Мини-задача

Точечный заряд \(Q = 10\) нКл. Найти \(E\) на расстоянии \(r = 0{,}3\) м.

\[E = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0{,}09} = \frac{90}{0{,}09} = 1000 \;\text{В/м}\]

Визуализация: силовые линии

Перетаскивайте заряды мышью. Выбирайте предустановки. Наведите курсор -- увидите вектор \(\vec{E}\) в этой точке.

Наведите мышь на холст, чтобы увидеть вектор E

Суперпозиция полей

Принцип суперпозиции (KEY -- ученики здесь путаются!)

\[\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \ldots \quad \text{(ВЕКТОРНО!)}\]

\[\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 + \ldots \quad \text{(скалярно, с учётом знаков)}\]

Проще: напряжённости СКЛАДЫВАЕМ КАК СТРЕЛКИ (по правилу параллелограмма). Потенциалы складываем как числа (со знаками).

Это ГЛАВНОЕ отличие: \(\vec{E}\) -- вектор, \(\varphi\) -- скаляр!

Пример: два одинаковых заряда +q на расстоянии 2d

В середине между ними:

\(E_1 = kq/d^2\) направлено ВПРАВО (от левого заряда)
\(E_2 = kq/d^2\) направлено ВЛЕВО (от правого заряда)
\(E = E_1 - E_2 = 0\) -- компенсация!
Потенциал: \(\varphi = 2kq/d\) -- НЕ ноль! (потенциалы складываются как числа)

Пример: +q и --q на расстоянии 2d (диполь):

В середине: оба \(\vec{E}\) направлены в одну сторону (от + к --), поэтому \(E = 2kq/d^2\)
Потенциал: \(\varphi = kq/d + k(-q)/d = 0\)

На серединном перпендикуляре (для +q +q): складываем по правилу параллелограмма. Горизонтальные компоненты компенсируются, вертикальные складываются.

Мини-задача

Два заряда \(+q\) и \(+q\) на расстоянии \(2d\). Чему равна \(E\) в середине между ними?

Подсказка: векторы напряжённости направлены в противоположные стороны!

Потенциал и напряжение

Основные формулы

\[\varphi = k\frac{Q}{r} \quad \text{(потенциал точечного заряда)}\]

\[U = \varphi_1 - \varphi_2 \quad \text{(напряжение = разность потенциалов)}\]

\[A = qU = q(\varphi_1 - \varphi_2) \quad \text{(работа поля)}\]

Проще: потенциал -- «энергия на единичный заряд». Напряжение -- разность потенциалов. Работа = заряд * напряжение.

Потенциал -- скаляр. У «+» заряда \(\varphi > 0\), у «--» заряда \(\varphi < 0\).
Связь с напряжённостью: \(E = -\Delta\varphi / \Delta x\), в однородном поле: \(U = Ed\).
Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям.

Мини-задача

Заряд \(q = 5\) мкКл перемещается из точки с \(\varphi_1 = 200\) В в точку с \(\varphi_2 = 50\) В. Работа поля \(A\) (в мДж)?

\[A = q(\varphi_1 - \varphi_2) = 5 \cdot 10^{-6} \cdot (200 - 50) = 5 \cdot 10^{-6} \cdot 150 = 0{,}75 \cdot 10^{-3} = 0{,}75 \;\text{мДж}\]

Конденсатор

Основные формулы

\[C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} \quad \text{(ёмкость плоского конденсатора)}\]

\[q = CU, \qquad W = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} = \frac{qU}{2}\]

Проще: конденсатор -- это «банка для заряда». Ёмкость \(C\) -- сколько заряда помещается на каждый вольт. Больше площадь \(S\) -- больше \(C\). Больше расстояние \(d\) -- меньше \(C\). Диэлектрик \(\varepsilon\) увеличивает \(C\).

\(\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\) Ф/м
Напряжённость внутри: \(E = U/d = q/(\varepsilon\varepsilon_0 S)\)
Энергия поля: \(W = \varepsilon\varepsilon_0 E^2 V / 2\), где \(V = Sd\) -- объём между пластинами

Мини-задача

\(C = 20\) мкФ, \(U = 100\) В. Заряд конденсатора \(q\) (в мКл)?

\[q = CU = 20 \cdot 10^{-6} \cdot 100 = 2 \cdot 10^{-3} \;\text{Кл} = 2 \;\text{мКл}\]

Конденсатор: два режима

КЛЮЧЕВОЕ: подключён vs отключён

Проще: подключён -- напряжение держит батарейка (U = const). Отключён -- заряду некуда деться (q = const).

Параметр	U = const (подключён)	q = const (отключён)
Что фиксировано?	U = const	q = const
Увеличили \(d\) в 2 раза	C ↓ 2, q ↓ 2, E ↓ 2, W ↓ 2	C ↓ 2, U ↑ 2, E = const, W ↑ 2
Вставили диэлектрик \(\varepsilon = 2\)	C ↑ 2, q ↑ 2, E = const, W ↑ 2	C ↑ 2, U ↓ 2, E ↓ 2, W ↓ 2
Увеличили \(S\) в 2 раза	C ↑ 2, q ↑ 2, E = const, W ↑ 2	C ↑ 2, U ↓ 2, E ↓ 2, W ↓ 2

Как запомнить:

U = const: батарейка «подкачивает» или «забирает» заряд. Что бы вы ни делали с конденсатором -- U не изменится.
q = const: конденсатор изолирован. Заряду некуда деться -- он остаётся тем же. Меняется U.
Формула \(E = U/d\) или \(E = q/(\varepsilon\varepsilon_0 S)\) -- выбирайте ту, где фиксированная величина!

Мини-задача: подключённый конденсатор

\(C = 10\) мкФ, \(U = 100\) В. Расстояние между пластинами увеличили в 3 раза, конденсатор остаётся подключённым. Новая энергия \(W'\) (в мДж)?

\[C' = C/3, \quad U' = U = 100\;\text{В (подключён!)}\] \[W' = \frac{C'U'^2}{2} = \frac{(C/3) \cdot U^2}{2} = \frac{W}{3} = \frac{10 \cdot 10^{-6} \cdot 10000}{2 \cdot 3} = \frac{50}{3} \approx 16{,}7 \;\text{мДж}\]

Мини-задача: отключённый конденсатор

\(C = 10\) мкФ, \(U = 100\) В. Конденсатор отключили. Вставили диэлектрик \(\varepsilon = 2\). Новое напряжение \(U'\) (в В)?

\[q = CU = 10^{-3} \;\text{Кл (не меняется!)}, \quad C' = 2C\] \[U' = \frac{q}{C'} = \frac{q}{2C} = \frac{U}{2} = 50 \;\text{В}\]

Соединения конденсаторов

Параллельное и последовательное

	Параллельное	Последовательное
Ёмкость	\(C = C_1 + C_2\)	\(\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\)
Что общее	\(U\) -- одинаковое	\(q\) -- одинаковый
Что делится	\(q = q_1 + q_2\)	\(U = U_1 + U_2\)

Проще: у конденсаторов ВСЁ НАОБОРОТ по сравнению с резисторами! Параллельно -- ёмкости складываются (как сопротивления последовательно). Последовательно -- складываются обратные ёмкости.

Два одинаковых: параллельно \(C = 2C_1\), последовательно \(C = C_1/2\).

Мини-задача

\(C_1 = 3\) мкФ и \(C_2 = 6\) мкФ соединены последовательно. Общая ёмкость (мкФ)?

\[\frac{1}{C} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{1}{2} \implies C = 2 \;\text{мкФ}\]

Закон Ома для участка цепи

Основная формула

\[I = \frac{U}{R}, \qquad U = IR, \qquad R = \frac{U}{I}\]

Проще: ток -- это «поток зарядов». Чем больше напряжение (давление) -- тем больше ток. Чем больше сопротивление (препятствие) -- тем меньше ток.

\(I\) -- ток (А), \(U\) -- напряжение (В), \(R\) -- сопротивление (Ом)
Удельное сопротивление: \(R = \rho l/S\) (\(\rho\) -- удельное сопротивление, \(l\) -- длина, \(S\) -- площадь сечения)

Мини-задача

Резистор \(R = 50\) Ом, напряжение \(U = 10\) В. Ток (в мА)?

\[I = \frac{U}{R} = \frac{10}{50} = 0{,}2 \;\text{А} = 200 \;\text{мА}\]

Закон Ома для полной цепи

Формулы

\[I = \frac{\mathscr{E}}{R + r}\]

\[U = \mathscr{E} - Ir \quad \text{(напряжение на внешней цепи)}\]

Проще: внутреннее сопротивление «ворует» часть напряжения. Чем больше ток -- тем больше «ворует». При коротком замыкании ВСЁ напряжение падает на внутреннем сопротивлении: \(I_{\text{кз}} = \mathscr{E}/r\).

\(\mathscr{E}\) -- ЭДС источника (В), \(r\) -- внутреннее сопротивление (Ом)
КПД источника: \(\eta = \dfrac{R}{R + r} = \dfrac{U}{\mathscr{E}}\)
Максимальная мощность на нагрузке: при \(R = r\), тогда \(\eta = 50\%\)

Мини-задача

\(\mathscr{E} = 12\) В, \(r = 2\) Ом, \(R = 4\) Ом. Напряжение на внешней цепи \(U\) (в В)?

\[I = \frac{12}{4 + 2} = 2 \;\text{А}, \qquad U = \mathscr{E} - Ir = 12 - 2 \cdot 2 = 8 \;\text{В}\]

Соединения резисторов

Последовательное и параллельное

	Последовательное	Параллельное
Сопротивление	\(R = R_1 + R_2\)	\(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\)
Что общее	\(I\) -- одинаковый	\(U\) -- одинаковое
Что делится	\(U = U_1 + U_2\)	\(I = I_1 + I_2\)
Два одинаковых	\(R = 2R_1\)	\(R = R_1/2\)

Проще: последовательно = «друг за другом» (ток один, напряжения складываются). Параллельно = «рядом» (напряжение одно, токи складываются).

Для двух параллельных: \(R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\) (произведение / на сумму).

Мини-задача

\(R_1 = 6\) Ом и \(R_2 = 3\) Ом соединены параллельно. Общее \(R\) (Ом)?

\[R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \;\text{Ом}\]

Мощность и закон Джоуля-Ленца

Формулы мощности

\[P = UI = I^2 R = \frac{U^2}{R}\]

\[Q = I^2 R t = Pt \quad \text{(закон Джоуля-Ленца)}\]

Проще: мощность -- сколько энергии расходуется каждую секунду. Три формулы для разных ситуаций: если знаешь U и I -- используй \(P = UI\). Если \(I\) и \(R\) -- \(P = I^2R\). Если \(U\) и \(R\) -- \(P = U^2/R\).

Последовательное соединение (I = const): больше мощность у того, у кого больше \(R\) (\(P = I^2R\))
Параллельное соединение (U = const): больше мощность у того, у кого меньше \(R\) (\(P = U^2/R\))

Мини-задача

Ток \(I = 2\) А, \(R = 10\) Ом, время \(t = 5\) мин. Выделенное тепло \(Q\) (кДж)?

\[Q = I^2 R t = 4 \cdot 10 \cdot 300 = 12000 \;\text{Дж} = 12 \;\text{кДж}\]

Сила Ампера

Формула

\[F_A = BIl\sin\alpha\]

Где \(B\) -- магнитная индукция (Тл), \(I\) -- ток (А), \(l\) -- длина проводника (м), \(\alpha\) -- угол между проводником и вектором \(\vec{B}\).

Проще: магнитное поле толкает провод с током в сторону. Направление -- по правилу левой руки: четыре пальца по току, ладонь к вектору B, большой палец -- направление силы.

Если \(\alpha = 90°\) (провод перпендикулярен B): \(F = BIl\) -- максимальная сила.
Если \(\alpha = 0°\) (провод параллелен B): \(F = 0\) -- сила равна нулю!
Два параллельных тока: в одном направлении -- притягиваются, в разных -- отталкиваются.

Мини-задача

\(B = 0{,}5\) Тл, \(I = 4\) А, \(l = 0{,}2\) м, \(\alpha = 90°\). Сила Ампера \(F\) (Н)?

\[F = BIl\sin 90° = 0{,}5 \cdot 4 \cdot 0{,}2 \cdot 1 = 0{,}4 \;\text{Н}\]

Сила Лоренца

Формула

\[F_L = |q|vB\sin\alpha\]

Где \(q\) -- заряд (Кл), \(v\) -- скорость (м/с), \(B\) -- индукция (Тл), \(\alpha\) -- угол между \(\vec{v}\) и \(\vec{B}\).

Проще: это «Ампер для одной частицы». Магнитное поле ЗАВОРАЧИВАЕТ заряженную частицу. Направление -- по правилу левой руки (для положительного заряда: четыре пальца по скорости, ладонь к B, большой палец -- сила).

Важно! Сила Лоренца НЕ совершает работы! Она перпендикулярна скорости, поэтому не может ни разогнать, ни затормозить частицу. Кинетическая энергия не меняется.

Мини-задача

Электрон (\(q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) Кл) движется со скоростью \(v = 10^7\) м/с перпендикулярно полю \(B = 0{,}01\) Тл. \(F_L\) (в \(10^{-14}\) Н)?

\[F_L = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^7 \cdot 0{,}01 = 1{,}6 \cdot 10^{-14} \;\text{Н}\]

Движение заряда в магнитном поле

Формулы движения по окружности

\[R = \frac{mv}{|q|B}, \qquad T = \frac{2\pi m}{|q|B}, \qquad \omega = \frac{|q|B}{m}\]

Проще: магнитное поле ЗАВОРАЧИВАЕТ заряженную частицу в круг. Чем быстрее частица -- тем больше круг, но ВРЕМЯ ОБОРОТА НЕ МЕНЯЕТСЯ (как это ни парадоксально!). Период \(T\) зависит только от массы, заряда и поля, но НЕ от скорости.

Если \(\vec{v} \perp \vec{B}\): движение по окружности
Если \(\vec{v}\) под углом к \(\vec{B}\): движение по спирали (винтовая линия)
Если \(\vec{v} \parallel \vec{B}\): сила = 0, частица летит прямо

Визуализация: движение заряда

Запустите заряженную частицу в однородное электрическое поле и наблюдайте параболическую траекторию.

v₀: 5

Угол: 30°

E: 10

q/m: 2

Настройте параметры и нажмите «Запустить»

Мини-задача

Протон (\(m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\) кг, \(q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) Кл) движется со скоростью \(v = 10^6\) м/с перпендикулярно полю \(B = 0{,}1\) Тл. Радиус окружности \(R\) (в см)?

\[R = \frac{mv}{qB} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^6}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}1} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-21}}{1{,}6 \cdot 10^{-20}} = 0{,}104 \;\text{м} \approx 10{,}4 \;\text{см}\]

ЭДС индукции

Закон Фарадея

\[\mathscr{E}_{\text{инд}} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}, \qquad \Phi = BS\cos\alpha\]

\[\mathscr{E} = Blv \quad \text{(проводник на рельсах, \(\vec{v} \perp \vec{B} \perp \vec{l}\))}\]

Проще: если магнитный поток через контур меняется -- появляется ЭДС (и ток, если контур замкнут). Быстрее меняется -- больше ЭДС. Знак «--» -- это правило Ленца (ток ПРОТИВ изменения).

\(\Phi\) -- магнитный поток (Вб), \(B\) -- индукция (Тл), \(S\) -- площадь (м²), \(\alpha\) -- угол между \(\vec{B}\) и нормалью к контуру
Поток может меняться из-за: изменения B, изменения S, изменения угла \(\alpha\), движения проводника

Задача «рельсы» (классика ЕГЭ)

Проводник длины \(l\) скользит по рельсам со скоростью \(v\) в поле \(B\) (перпендикулярно). Цепь замкнута через сопротивление \(R\).

\[\mathscr{E} = Blv, \quad I = \frac{Blv}{R + r}, \quad F_{\text{торм}} = BIl = \frac{B^2 l^2 v}{R + r}\]

Тормозящая сила -- это сила Ампера, действующая на проводник с индуцированным током. Она ВСЕГДА противоположна движению (по Ленцу).

Визуализация: рельсы

Проводник скользит по рельсам в магнитном поле. Наблюдайте ЭДС, ток и тормозящую силу.

v: 2

B: 0.5

R: 1

EMF = Blv, перемещайте ползунки

Мини-задача

\(B = 0{,}5\) Тл, \(l = 0{,}4\) м, \(v = 2\) м/с, \(R = 1\) Ом. ЭДС индукции (В)?

\[\mathscr{E} = Blv = 0{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 2 = 0{,}4 \;\text{В}\]

Правило Ленца

Суть правила

Проще: природа «сопротивляется» изменению. Индукционный ток всегда направлен так, чтобы ПРОТИВОДЕЙСТВОВАТЬ причине, его вызвавшей.

Подносишь магнит (поток растёт) -- ток создаёт поле, ОТТАЛКИВАЮЩЕЕ магнит.
Убираешь магнит (поток уменьшается) -- ток создаёт поле, ПРИТЯГИВАЮЩЕЕ магнит.
Как пружина, которая сопротивляется сжатию/растяжению.

Алгоритм определения направления тока:

Определить направление внешнего поля \(\vec{B}_{\text{внеш}}\)
Определить, как меняется поток: растёт или убывает?
Если растёт -- индукционное поле ПРОТИВ внешнего. Если убывает -- по направлению внешнего.
По правилу буравчика определить направление тока из направления \(\vec{B}_{\text{инд}}\)

Мини-задача (качественная)

Магнит северным полюсом приближается к кольцу снизу. Поток через кольцо увеличивается вверх. Направление индукционного тока (если смотреть сверху)?

По Ленцу: поток растёт вверх -- индукционное поле направлено вниз (против). По правилу буравчика: ток против часовой стрелки (если смотреть сверху).

Самоиндукция

Формулы

\[\mathscr{E}_L = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}\]

\[\Phi = LI, \qquad W_L = \frac{LI^2}{2}\]

Проще: катушка (индуктивность) -- «инерция» для тока. Она сопротивляется ИЗМЕНЕНИЮ тока: если ток растёт -- катушка «тормозит», если убывает -- «поддерживает». Аналогия с массой в механике: \(L \leftrightarrow m\), \(I \leftrightarrow v\), \(W_L = LI^2/2 \leftrightarrow mv^2/2\).

\(L\) -- индуктивность (Гн), \(I\) -- ток (А)
Энергия магнитного поля катушки: \(W = LI^2/2\)
При размыкании цепи: ток «пытается» сохраниться, возникает ЭДС самоиндукции (может вызвать искру!)

Мини-задача

Индуктивность \(L = 0{,}5\) Гн, ток \(I = 4\) А. Энергия магнитного поля катушки \(W\) (Дж)?

\[W = \frac{LI^2}{2} = \frac{0{,}5 \cdot 16}{2} = 4 \;\text{Дж}\]

Алгоритмы решения

Алгоритм 1: Движение заряда в E поле

Частица влетает в электрическое поле (задания 15, 25)

1

Рисунок

Поле, частица, начальная скорость, оси координат

↓

2

Сила

\(F = qE\), направление: от + к -- (для + заряда)

↓

3

Ускорение

\(a = F/m = qE/m\)

↓

4

Кинематика по осям

Ox: равномерно, Oy: равноускоренно (как баллистика!)

↓

5

Энергия (если нужно)

\(A = qEd = \Delta E_k\), теорема о кинетической энергии

↓

6

Проверка

Размерность, знаки, физический смысл

Алгоритм 2: Движение заряда в B поле

Частица в магнитном поле (задания 16, 25)

1

Определить угол

Угол между \(\vec{v}\) и \(\vec{B}\): \(90°\) -- круг, другой -- спираль

↓

2

Равенство сил

\(qvB = mv^2/R\) -- сила Лоренца = центростремительная

↓

3

Найти R, T, \(\omega\)

\(R = mv/(qB)\), \(T = 2\pi m/(qB)\)

↓

4

Направление

Правило левой руки: пальцы по v, ладонь к B, большой -- F

↓

5

Работа = 0

F ⊥ v, поэтому A = 0, Ek = const, скорость не меняется

Алгоритм 3: Конденсатор

Изменение параметров конденсатора (задания 14, 24)

1

Определи режим!

Подключён (U = const) или отключён (q = const)?

↓

2

Как изменилось C

\(C = \varepsilon\varepsilon_0 S/d\). Что изменили: d, S, или \(\varepsilon\)?

↓

3

Найти q или U

\(q = CU\). Из фиксированной величины и нового C найти другую.

↓

4

Найти E

\(E = U/d\) или \(E = q/(\varepsilon\varepsilon_0 S)\) -- выбери ту, где фиксированная!

↓

5

Энергия

\(W = CU^2/2 = q^2/(2C) = qU/2\)

Алгоритм 4: Сложные цепи

Задания 17, 25, 26 -- комбинированные схемы

1

Перерисовать схему

Упростить, расставить узлы, определить соединения

↓

2

Определить типы

Последовательно или параллельно? Смешанное?

↓

3

Найти общее R

Свернуть пошагово: сначала внутренние, потом внешние

↓

4

Ом для полной цепи

\(I = \mathscr{E}/(R_{\text{общ}} + r)\)

↓

5

Развернуть обратно

Найти U и I для каждого элемента, двигаясь от общего к частному

↓

6

Проверка

Сумма U = ЭДС? Сумма токов в узле = 0?

Алгоритм 5: ЭДС индукции

Задания 18, 25, 26

1

Что меняется?

\(\Phi = BS\cos\alpha\). Что меняется: B, S, или \(\alpha\)?

↓

2

Найти \(\Delta\Phi\)

\(\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1\) (или \(= Blv\Delta t\) для рельсов)

↓

3

ЭДС

\(\mathscr{E} = |\Delta\Phi/\Delta t|\)

↓

4

Направление (Ленц)

Индукционное поле ПРОТИВ изменения потока

↓

5

Ток (Ом)

\(I = \mathscr{E}/(R+r)\), мощность, теплота и т.д.

↓

6

Ответ

Проверка размерности и знака

Алгоритм 6: Качественная задача (задание 21)

Объяснение явления -- нужна ЦЕПОЧКА рассуждений

1

Назвать явление

«Это электромагнитная индукция / самоиндукция / ...»

↓

2

Указать закон

«По закону Фарадея...» / «По правилу Ленца...»

↓

3

Цепочка причин

«Магнит приближается → поток растёт → ЭДС → ток → сила →...»

↓

4

Вывод

Чёткий ответ на вопрос задачи

Алгоритм 7: Энергетический баланс

Задания 25, 26 -- сохранение энергии в электродинамике

1

Начальная энергия

\(W_0 = CU^2/2\) или \(LI^2/2\) или \(\mathscr{E}It\)

↓

2

Конечная энергия

Куда ушла: теплота \(Q = I^2Rt\), поле конденсатора, поле катушки

↓

3

Баланс

\(W_0 = W_{\text{кон}} + Q\), или \(\mathscr{E}q = I^2Rt + \ldots\)

↓

4

Решить уравнение

Выразить искомую величину

Типичные ошибки

10 ошибок, которые стоят баллов

1. Путают E (вектор) и φ (скаляр) при суперпозиции

E = E₁ + E₂ (сложили модули)

E -- векторная сумма! Нужен параллелограмм или проекции на оси.

φ -- скаляр, его можно складывать с учётом знаков. E -- вектор!

2. Забывают перевести единицы

q = 3 мкКл → подставляют 3 вместо 3·10⁻⁶

мкКл = 10⁻⁶ Кл, нКл = 10⁻⁹ Кл, мм = 10⁻³ м

Самая частая ошибка! Всегда переводите в СИ перед подстановкой.

3. Путают режимы конденсатора

Конденсатор отключили, а записали U = const

Отключили → q = const. Подключён → U = const.

Первый шаг ВСЕГДА: определить режим!

4. Путают параллельное и последовательное для C и R

Конденсаторы параллельно: 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ (это для резисторов!)

Для конденсаторов ВСЁ НАОБОРОТ! Параллельно: C = C₁ + C₂.

5. Забывают внутреннее сопротивление

I = E/R (забыли r!)

I = E/(R + r). Напряжение на клеммах: U = E - Ir ≠ E

Если r не дано и не сказано «идеальный» -- значит r = 0.

6. Сила Лоренца «совершает работу»

Частица в магнитном поле ускоряется

F ⊥ v → A = 0. Скорость НЕ МЕНЯЕТСЯ. Меняется только направление.

7. Путают ЭДС и напряжение

U на клеммах = E

U = E - Ir. Только при I = 0 (разомкнутая цепь): U = E.

8. Неправильное направление тока по Ленцу

Поток увеличивается → ток в ту же сторону

Ток ПРОТИВ изменения! Поток растёт → индукционное поле ПРОТИВ.

9. Забывают sinα в силе Ампера/Лоренца

F = BIl (забыли sinα)

F = BIl sinα. Если α = 90° → sin90° = 1, можно опустить. Иначе нельзя!

10. Путают формулы энергии конденсатора

Используют W = CU²/2 когда удобнее W = q²/(2C)

Выбирай формулу с фиксированной величиной! q = const → W = q²/(2C). U = const → W = CU²/2.

Банк заданий

Решено: 0/20

#1 Закон Кулона Электростатика

▼

Два точечных заряда \(q_1 = 8\) мкКл и \(q_2 = -2\) мкКл находятся на расстоянии \(r = 0{,}2\) м в вакууме. Найти силу взаимодействия (Н).

Дано: \(q_1 = 8 \cdot 10^{-6}\) Кл, \(q_2 = 2 \cdot 10^{-6}\) Кл, \(r = 0{,}2\) м

Найти: \(F\)

Шаг 1: Записываем закон Кулона: \(F = k\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2}\)

Шаг 2: Подставляем: \(F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{0{,}04}\)

Шаг 3: Числитель: \(9 \cdot 10^9 \cdot 16 \cdot 10^{-12} = 0{,}144\)

Шаг 4: \(F = 0{,}144 / 0{,}04 = 3{,}6\) Н

Ответ: 3,6 Н

#2 Напряжённость поля Электростатика

▼

На расстоянии \(r = 0{,}1\) м от точечного заряда \(Q\) напряжённость поля равна \(E = 3600\) В/м. Найти заряд \(Q\) (в нКл).

Дано: \(r = 0{,}1\) м, \(E = 3600\) В/м

Найти: \(Q\)

Шаг 1: \(E = kQ/r^2 \Rightarrow Q = Er^2/k\)

Шаг 2: \(Q = 3600 \cdot 0{,}01 / (9 \cdot 10^9) = 36/(9 \cdot 10^9) = 4 \cdot 10^{-9}\) Кл

Шаг 3: \(Q = 4\) нКл

Ответ: 4 нКл

#3 Потенциал и работа Электростатика

▼

Электрон (\(q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) Кл) перемещается в однородном поле из точки с потенциалом \(\varphi_1 = 100\) В в точку с потенциалом \(\varphi_2 = 300\) В. Какую работу совершило поле (в эВ)?

Дано: \(q_e = -1{,}6 \cdot 10^{-19}\) Кл (электрон -- отрицательный!), \(\varphi_1 = 100\) В, \(\varphi_2 = 300\) В

Шаг 1: \(A = q(\varphi_1 - \varphi_2) = (-1{,}6 \cdot 10^{-19})(100 - 300)\)

Шаг 2: \(A = (-1{,}6 \cdot 10^{-19})(-200) = 3{,}2 \cdot 10^{-17}\) Дж

Шаг 3: В электрон-вольтах: \(A = 3{,}2 \cdot 10^{-17} / 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 200\) эВ

Ответ: 200 эВ

#4 Суперпозиция Электростатика

▼

Два заряда \(q_1 = +4\) нКл и \(q_2 = -4\) нКл расположены на расстоянии \(2a = 0{,}2\) м друг от друга. Найти напряжённость поля \(E\) в середине отрезка (В/м).

Дано: \(q = 4 \cdot 10^{-9}\) Кл, \(a = 0{,}1\) м

Шаг 1: В середине: \(E_1 = kq/a^2\) направлено от +q ВПРАВО

Шаг 2: \(E_2 = kq/a^2\) направлено к -q тоже ВПРАВО (к минусу!)

Шаг 3: Оба вектора СОНАПРАВЛЕНЫ: \(E = E_1 + E_2 = 2kq/a^2\)

Шаг 4: \(E = 2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-9} / 0{,}01 = 72/0{,}01 = 7200\) В/м

Ответ: 7200 В/м

#5 Электростатика + равновесие Электростатика (сложная)

▼

В однородном электрическом поле \(E = 10\) В/м находятся два заряженных шарика: \(q = -2\) нКл и \(Q = 6\) нКл. Расстояние между ними \(r = 2\) м. Масса одного шарика \(M = 8\) г. Найти массу второго шарика \(m\), при которой расстояние между шариками остаётся постоянным (в г).

Дано: \(E = 10\) В/м, \(q = -2 \cdot 10^{-9}\) Кл, \(Q = 6 \cdot 10^{-9}\) Кл, \(r = 2\) м, \(M = 8 \cdot 10^{-3}\) кг

Найти: \(m\)

Шаг 1: Расстояние постоянно -- значит оба шарика движутся с одинаковым ускорением \(a\).

Шаг 2: На каждый шарик действует сила поля (\(F = qE\)) и сила Кулона (\(F_K\)).

Шаг 3: Сила Кулона: \(F_K = k\dfrac{|q||Q|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-9} \cdot 6 \cdot 10^{-9}}{4} = 2{,}7 \cdot 10^{-8}\) Н. Заряды разноимённые -- притягиваются.

Шаг 4: Для шарика с зарядом Q (положительный, поле тянет его по направлению E): \(Ma = QE - F_K\)
Для шарика с зарядом q (отрицательный, поле тянет ПРОТИВ E, кулоновская сила -- в направлении Q): \(ma = -qE + F_K = |q|E + F_K\) (нет, нужно аккуратнее).

Шаг 5 (аккуратно): Пусть E направлено вправо. Шарик Q = +6нКл: сила поля \(QE\) вправо, кулоновская притяжение к q -- влево (к q). Шарик q = -2нКл: сила поля \(|q|E\) ВЛЕВО (отрицательный заряд -- против поля!), кулоновская -- вправо (к Q).
Для постоянного расстояния: \(a_1 = a_2\), т.е. ускорения одинаковые.
Для шарика Q: \(a = (QE - F_K)/M\)
Для шарика q: \(a = (F_K - |q|E)/m\)
Приравниваем: \(\dfrac{QE - F_K}{M} = \dfrac{F_K - |q|E}{m}\)

Шаг 6: \(QE = 6 \cdot 10^{-9} \cdot 10 = 6 \cdot 10^{-8}\) Н
\(|q|E = 2 \cdot 10^{-9} \cdot 10 = 2 \cdot 10^{-8}\) Н
\(F_K = 2{,}7 \cdot 10^{-8}\) Н
\(QE - F_K = 6 \cdot 10^{-8} - 2{,}7 \cdot 10^{-8} = 3{,}3 \cdot 10^{-8}\)
\(F_K - |q|E = 2{,}7 \cdot 10^{-8} - 2 \cdot 10^{-8} = 0{,}7 \cdot 10^{-8}\)
\(m = M \cdot \dfrac{0{,}7 \cdot 10^{-8}}{3{,}3 \cdot 10^{-8}} = 8 \cdot \dfrac{0{,}7}{3{,}3} \approx 8 \cdot 0{,}212 \approx 1{,}7\) г

Ответ: 1,7 г

#6 Конденсатор (подключён) Конденсаторы

▼

Плоский конденсатор подключён к батарейке \(U = 200\) В. Ёмкость \(C = 5\) мкФ. Расстояние между пластинами увеличили в 2 раза (не отключая). Найти новый заряд (в мКл).

Шаг 1: Подключён → U = const = 200 В

Шаг 2: \(d' = 2d \Rightarrow C' = C/2 = 2{,}5\) мкФ

Шаг 3: \(q' = C'U = 2{,}5 \cdot 10^{-6} \cdot 200 = 5 \cdot 10^{-4}\) Кл = 0,5 мКл

Ответ: 0,5 мКл

#7 Конденсатор (отключён) Конденсаторы

▼

Конденсатор \(C = 10\) мкФ зарядили до \(U = 100\) В и отключили. Вставили диэлектрик \(\varepsilon = 5\). Найти новую энергию (мДж).

Шаг 1: Отключён → q = const. \(q = CU = 10^{-3}\) Кл

Шаг 2: \(C' = \varepsilon C = 5 \cdot 10 = 50\) мкФ

Шаг 3: \(W' = q^2/(2C') = (10^{-3})^2/(2 \cdot 50 \cdot 10^{-6}) = 10^{-6}/(10^{-4}) = 0{,}01\) Дж = 10 мДж

Ответ: 10 мДж

#8 Соединения конденсаторов Конденсаторы

▼

Два конденсатора \(C_1 = 2\) мкФ и \(C_2 = 3\) мкФ соединены параллельно и подключены к \(U = 100\) В. Найти общий заряд батареи (мКл).

Шаг 1: Параллельно: \(C = C_1 + C_2 = 5\) мкФ

Шаг 2: \(q = CU = 5 \cdot 10^{-6} \cdot 100 = 5 \cdot 10^{-4}\) Кл = 0,5 мКл

Ответ: 0,5 мКл

#9 Закон Ома (полная цепь) Цепи

▼

Батарейка с ЭДС \(\mathscr{E} = 9\) В и внутренним сопротивлением \(r = 1\) Ом подключена к резистору \(R = 8\) Ом. Найти КПД источника (%).

Шаг 1: КПД: \(\eta = R/(R + r)\)

Шаг 2: \(\eta = 8/(8 + 1) = 8/9 \approx 0{,}889 = 88{,}9\%\)

Ответ: 88,9%

#10 Мощность на резисторе Цепи

▼

Два резистора \(R_1 = 4\) Ом и \(R_2 = 6\) Ом соединены последовательно. Ток \(I = 2\) А. Найти мощность, выделяющуюся на \(R_2\) (Вт).

Шаг 1: Последовательно: I одинаковый для обоих.

Шаг 2: \(P_2 = I^2 R_2 = 4 \cdot 6 = 24\) Вт

Ответ: 24 Вт

#11 Сложная цепь Цепи

▼

Три резистора: \(R_1 = 6\) Ом, \(R_2 = 3\) Ом (параллельно), и \(R_3 = 4\) Ом (последовательно с параллельной парой). \(\mathscr{E} = 12\) В, \(r = 0\). Найти ток через \(R_1\) (А).

Шаг 1: \(R_{12} = R_1 R_2/(R_1 + R_2) = 18/9 = 2\) Ом

Шаг 2: \(R_{\text{общ}} = R_{12} + R_3 = 2 + 4 = 6\) Ом

Шаг 3: \(I = \mathscr{E}/R_{\text{общ}} = 12/6 = 2\) А

Шаг 4: \(U_{12} = IR_{12} = 2 \cdot 2 = 4\) В

Шаг 5: \(I_1 = U_{12}/R_1 = 4/6 \approx 0{,}667\) А

Ответ: 0,667 А (2/3 А)

#12 Джоуль-Ленц Цепи

▼

Нагреватель \(R = 20\) Ом подключён к \(U = 220\) В на \(t = 10\) мин. Выделенное тепло (кДж)?

Шаг 1: \(Q = U^2 t/R = 220^2 \cdot 600 / 20\)

Шаг 2: \(Q = 48400 \cdot 30 = 1{,}452 \cdot 10^6\) Дж = 1452 кДж

Ответ: 1452 кДж

#13 Сила Ампера Магнитное поле

▼

Проводник длиной \(l = 0{,}5\) м с током \(I = 10\) А находится в поле \(B = 0{,}4\) Тл под углом \(\alpha = 30°\) к линиям индукции. Сила Ампера (Н)?

Шаг 1: \(F = BIl\sin\alpha = 0{,}4 \cdot 10 \cdot 0{,}5 \cdot \sin 30°\)

Шаг 2: \(F = 0{,}4 \cdot 10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 1\) Н

Ответ: 1 Н

#14 Сила Лоренца Магнитное поле

▼

Альфа-частица (\(q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\) Кл, \(m = 6{,}64 \cdot 10^{-27}\) кг) влетает в поле \(B = 0{,}2\) Тл со скоростью \(v = 10^6\) м/с перпендикулярно. Радиус (см)?

Шаг 1: \(R = mv/(qB)\)

Шаг 2: \(R = 6{,}64 \cdot 10^{-27} \cdot 10^6 / (3{,}2 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}2)\)

Шаг 3: \(R = 6{,}64 \cdot 10^{-21} / 6{,}4 \cdot 10^{-20} = 0{,}1038\) м \(\approx 10{,}4\) см

Ответ: 10,4 см

#15 Период обращения Магнитное поле

▼

Протон (\(m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\) кг, \(q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) Кл) в поле \(B = 0{,}5\) Тл. Период обращения (нс)?

Шаг 1: \(T = 2\pi m/(qB)\)

Шаг 2: \(T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} / (1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}5)\)

Шаг 3: \(T = 1{,}05 \cdot 10^{-26} / 8 \cdot 10^{-20} = 1{,}31 \cdot 10^{-7}\) с = 131 нс

Ответ: 131 нс

#16 Масс-спектрометр Магнитное поле

▼

Ион с зарядом \(q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) Кл разогнан напряжением \(U = 1000\) В и влетает в поле \(B = 0{,}1\) Тл. Радиус траектории \(R = 0{,}144\) м. Масса иона (в а.е.м.)?

Шаг 1: Из \(qU = mv^2/2\): \(v = \sqrt{2qU/m}\)

Шаг 2: Из \(R = mv/(qB)\): \(v = qBR/m\)

Шаг 3: Приравниваем: \(qBR/m = \sqrt{2qU/m}\), возводим в квадрат:

Шаг 4: \(q^2B^2R^2/m^2 = 2qU/m \Rightarrow m = q B^2 R^2/(2U)\)

Шаг 5: \(m = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}0207 / 2000 = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\) кг \(\approx 1\) а.е.м. (протон)

Ответ: 1 а.е.м. (протон)

#17 ЭДС индукции (рельсы) Индукция

▼

Проводник \(l = 0{,}5\) м скользит по рельсам со скоростью \(v = 4\) м/с в поле \(B = 0{,}8\) Тл. Сопротивление цепи \(R = 2\) Ом. Ток в цепи (А)?

Шаг 1: \(\mathscr{E} = Blv = 0{,}8 \cdot 0{,}5 \cdot 4 = 1{,}6\) В

Шаг 2: \(I = \mathscr{E}/R = 1{,}6/2 = 0{,}8\) А

Ответ: 0,8 А

#18 Магнитный поток Индукция

▼

Контур площадью \(S = 0{,}04\) м² в поле \(B = 0{,}5\) Тл. Поле уменьшилось до 0 за \(\Delta t = 0{,}01\) с. ЭДС индукции (В)?

Шаг 1: \(\Delta\Phi = B_2 S - B_1 S = (0 - 0{,}5) \cdot 0{,}04 = -0{,}02\) Вб

Шаг 2: \(\mathscr{E} = -\Delta\Phi/\Delta t = 0{,}02/0{,}01 = 2\) В

Ответ: 2 В

#19 Самоиндукция Индукция

▼

Ток в катушке \(L = 2\) Гн изменился от \(I_1 = 3\) А до \(I_2 = 1\) А за \(\Delta t = 0{,}5\) с. ЭДС самоиндукции (В)?

Шаг 1: \(\mathscr{E}_L = -L \cdot \Delta I/\Delta t\)

Шаг 2: \(\Delta I = 1 - 3 = -2\) А

Шаг 3: \(\mathscr{E}_L = -2 \cdot (-2)/0{,}5 = 8\) В

Ответ: 8 В

#20 Энергия катушки Индукция

▼

Катушка \(L = 0{,}2\) Гн. Ток увеличился с 1 А до 3 А. На сколько увеличилась энергия магнитного поля (Дж)?

Шаг 1: \(W_1 = LI_1^2/2 = 0{,}2 \cdot 1/2 = 0{,}1\) Дж

Шаг 2: \(W_2 = LI_2^2/2 = 0{,}2 \cdot 9/2 = 0{,}9\) Дж

Шаг 3: \(\Delta W = 0{,}9 - 0{,}1 = 0{,}8\) Дж

Ответ: 0,8 Дж

Тренажёр

Случайная задача

Нажмите «Новая задача» для начала

Верно: 0 | Всего: 0 | Серия: 0

Шпаргалка

Все формулы электродинамики

Закон Кулона
\(F = k\dfrac{q_1 q_2}{\varepsilon r^2}\)

Напряжённость
\(E = k\dfrac{Q}{r^2} = \dfrac{U}{d}\)

Потенциал
\(\varphi = k\dfrac{Q}{r}\), \(A = qU\)

Ёмкость
\(C = \dfrac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}\)

Конденсатор
\(q = CU\), \(W = \dfrac{CU^2}{2}\)

Ом (участок)
\(I = U/R\)

Ом (полная цепь)
\(I = \dfrac{\mathscr{E}}{R+r}\)

Последовательно
\(R = R_1 + R_2\), \(I = \text{const}\)

Параллельно
\(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\), \(U = \text{const}\)

Мощность
\(P = UI = I^2R = U^2/R\)

Джоуль-Ленц
\(Q = I^2 R t\)

Сила Ампера
\(F = BIl\sin\alpha\)

Сила Лоренца
\(F = qvB\sin\alpha\)

Радиус в B
\(R = \dfrac{mv}{qB}\)

Период в B
\(T = \dfrac{2\pi m}{qB}\)

ЭДС индукции
\(\mathscr{E} = -\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\)

Рельсы
\(\mathscr{E} = Blv\)

Самоиндукция
\(\mathscr{E}_L = -L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\)

Энергия катушки
\(W = \dfrac{LI^2}{2}\)

КПД источника
\(\eta = \dfrac{R}{R+r}\)

Краткий алгоритм

Конденсатор: определи режим (U=const или q=const) -- это первый шаг ВСЕГДА!
Цепи: перерисуй -- найди тип соединения -- сверни -- Ом -- разверни
Магнитное поле: F = qvBsinα, левая рука, A_Лоренца = 0
Индукция: что меняется → ΔΦ → E → Ленц → Ом
Единицы: мкКл = 10⁻⁶, нКл = 10⁻⁹, мА = 10⁻³